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シュレディンガーの狸

このブログがなぜ"シュレディンガーの狸"と名付けられたのか、それは誰も知らない。

「掛けられる数」と「掛ける数」の区別は重要か?

ウィトゲンシュタイン

giveme5.hateblo.jp

上記記事について、takehikomさんからコメントをいただいた。takehikomさんは掛け算の順序問題に精通しておられるようで下記記事では色々な記事がまとめられている。

d.hatena.ne.jp

その記事のいくつかを読み、教育の素人が考えたことを書いてみる。

まず答え合わせをどこまで厳しくすべき?―プレジデントFamilyに見る,かけ算の順序 - わさっきで指摘されている順序固定反対派の方の意見を引用する。

元々は上記のように「理解できているかチェックし、理解が間違っていたら正す」ことを目的として「8×6」をバッテンにしているはずだ。だが実際に娘に聞いてみても、なぜ自分がバッテンにされたかを理解していない。
掛ける数と掛けられる数の違いを理解させようという理想?を追求した結果、益々混乱させているんではないだろうか。混乱させるくらいなら、素直にそれを認めて、「8×6」を○にするのもアリなのではないか。学習指導要領的にはそう言う考え方は言語道断なのだろうが。

6×8は正解でも8×6はバッテン?あるいは算数のガラパゴス性:プロジェクトマジック:オルタナティブ・ブログ

掛け算の順序固定を主張する人が「掛ける数と掛けられる数の違いを理解させようという理想」を追い求めているとするならば、まず「掛ける数」と「掛けられる数」の定義をはっきりさせてもらいたいと言いたい。

「8×6」を文章で表すのに「8に6を掛ける」と表現することが日本語の文として妥当で、逆に「6に8を掛ける」が不当かと問われれば、私はどう答えていいのか判らない。さらに言えば「8と6を掛ける」が適切な表現であるように思える。つまり「8×6」のどちらが「掛けられる数」で、どちらが「掛ける数」なのか判らない。いや、そうではない。掛け算では「掛けられる数」×「掛ける数」の順番で書かなければならないことは知っている(つい最近、知った)。だから「8×6」においては8が「掛けられる数」で6が「掛ける数」であることは知っている。
しかし、なぜ単位のある数(単位数)と単位の無い数(無単位数)という考え方で両者を区別しないのだろうか(私は、この区別の重要性について主張するものである)。
恐らく問題が「8人にペンをあげます。1人に6本ずつあげるには、ぜんぶで何本いるでしょうか」なので、8には「人」という単位が、6には「本」という単位がある、つまり両方に単位があると考えているからであろう。しかし「ぜんぶで何本いるでしょうか」と問うた時点で「本」が数学的単位であり、「人」は言語的単位(助数詞的存在)であり、掛け算においては(存在しないものとして)無視すべき単位であると解釈する方が、よっぽどすっきりすると思うのだが。そして両者の掛け算においては「単位数」×「無単位数」という順序で掛けるのが(日本では)習慣である(英語圏では逆の習慣がある)。
数学的単位は数と積という形式で数学的に結合しているという理解を示す例としてtakehikomさんの次の主張が挙げられる。

「5円のものを8個買ったら40円」をできるだけ少ない字数で表しましょう.
この問題,小学校の算数なら,「5×8=40」でしょう.

かけ算の順序が何の役に立つんですか - わさっき

しかし例えばアメリカ人なら、その式を見て「8円のものを5個買ったら40円」と理解する。

そこで3文字はあきらめて,4文字で誤解なく表現するにはと考えてみると,「5円×8」と書けば良さそう,となるわけです.なお,「5×8円」は依然として,「5円のものが8個」にも「5個で単価は8円」にも解釈できる,曖昧な式です.

かけ算の順序が何の役に立つんですか - わさっき

この両義的解釈ができるという主張は、takehikomさんが

5×8円=5×(8×円)=(5×8)×円

と考えているから、つまり数と数学的単位は積であり、積については結合法則が成立すると考えているからであろう。しかし、そう考えるなら「5円×8」も両義的である。

5円×8=(5×円)×8=5×(円×8)=5×(8×円)=(5×8)×円

数学的単位と数は積という形式で結合しているが、しかし積という形式に分離することは不可能である。この不合理な結合の原因は数学的単位にある。数学的単位とは理解不可能な存在である。だから、それは「理解」とは違った仕方で把握するしかない。

「本当にわかっているかどうかを確かめるのが、答え合わせの目的です。ですから、式もきちんと見て丸付けしてほしいです。たとえば、『8人にペンをあげます。1人に6本ずつあげるには、何本いるでしょうか?』というような問題では8×6=48とあったら誤りで、6×8=48が正解です。なぜなら、同じ数ずつ配る掛け算は、『配る数(6本)』を『何倍する(8人)』と考えます。つまり、6×8。実はこれは『もとにする量×割合=比べる量』という割合の考え方につながる。ここが身についていないとあとで分数や比の理解で混乱します。式は英語でmathematical sentenceと呼ばれます。数学的文章であり、状態を正しく表現できていないといけないのです」(大澤先生)

答え合わせをどこまで厳しくすべき?―プレジデントFamilyに見る,かけ算の順序 - わさっき

「同じ数ずつ配る掛け算は、『配る数(6本)』を『何倍する(8人)』と考え」たからといって、なぜ「6×8」と書かなければならないのか理解てきない。逆に「8×6」と書く子供は「同じ数ずつ配る掛け算は、『配る数(6本)』を『何倍する(8人)』と考え」ていないと「大澤先生」は解釈するのであろう。
しかし、その子供は単位数と無対数の掛け算についての習慣が身に着いていないだけである。そして子供にその習慣を身に着けさせるのに、掛け算の問題は「6本のペンを8人にあげます。ペンはぜんぶで何本いるでしょうか」という形で、つまり単位数を先に登場させる形で提出されるべきである。このような形の問題を違った条件で繰り返し提起することで、子供は習慣を身に着け、数学的単位を把握する。そして、それを把握した時点で、単位数と無単位数の登場順が逆転した問題を提出し、本当に数学的単位というものを把握したかどうかを確かめるというのが、素人が考える数学教育である。

しかし、中には恐ろしい子供もいるものである。

例えば,次のような文章題を考えさせてみます。「船が5そうあります.1そうに4人ずつ乗ることにします。」このような問題文になっていると子どもは必ず式を間違えますよね。「5×4」と書きます。今まで文の中に出てきた順番に数を使って式を書くだけで,ずっと丸をもらえていた子たちは,必ずこういう問題で引っかかります。
ところが,この前2年生の子に聞いてびっくりしたことなのですが,「そろそろ式は反対に書かなきゃいけないころだ」と言うんです(笑)。「何で?」と聞くと,「プリント は,後の方になるとそういうふうにしないとバツになることが多い」と言うのです。そういえばそうですよね。まとめのテストの文章題の終わりは,必ず式が逆になる場合の問題が多いのです。まあ,統計的にみる力は素晴らしいものがあるかもしれませんが(笑),それではやはり意味がありません。

算数教育に関わる各団体は,かけ算の順序についてどのような見解を出していますか? - わさっき

「8×6=48とあったら誤りで、6×8=48が正解です」という「大澤先生」の主張にも疑問を覚える。冒頭に引用した父親の証言にあるとおり「娘に聞いてみても、なぜ自分がバッテンにされたかを理解していない」のである。娘さんは、ただ習慣に従っていないだけである。それを不正解とすると、本来的な不正解(例えば6×8=47とするような)との違いが理解できないで、子供は戸惑うであろう。

ちなみにウィトゲンシュタインは次のように語っている。

規則に従うこと、それは命令に従うことに類似している。人はそうするよう訓練され、命令には一定の仕方で反応する。しかし、いま命令に対して、ある人はしかじかに、別の人は別様に反応するとしたらどうであろうか。そのとき誰が正しいのか。

ウィトゲンシュタイン全集 8 哲学探究p164

 掛け算順序自由派の片瀬さんの新たな最近の発言

 「一部で始まったナンセンスな教授法」とは、いかなるものか、ぜひ知りたいです。